Question

【题目】一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE=x

（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．

（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

【答案】9（平方单位）

【解析】设平行四边形AGEF的面积是S．利用平行四边形AGEF的对边互相平行知EF∥AG，所以同位角∠A=∠CFE=30°；然后在直角三角形ABC和直角三角形BEF中利用锐角三角函数的定义求得CF、AC的长度，从而求得平行四边形AGEF的底边AF=AC-CF；最后根据平行四边形的面积公式S=底×高得出关于S与x的函数关系式S=-x2+6x；

（1）将x=2代入S与x的函数关系式S=-x2+6x，并求解即可；

（2）利用配方法求二次函数的最值．

解：设平行四边形AGEF的面积是S．

∵四边形AGEF是平行四边形，

∴EF∥AG；

∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，

∴∠A=∠CFE=30°，

∴CF=x，AC=6，

∴AF=6﹣x；

∴S=AFCE=（6﹣x）x=﹣x2+6x，即S=﹣x2+6x；

（1）当x=2时，S=﹣4+12=8，即S=8．

答：平行四边形AGEF的面积为8（平方单位）

（2）由S=﹣x2+6x，得S=-x2+6x，

∴S=-（x-3）2+9，

∴当x=3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是9（平方单位）

“点睛”本题考查了平行四边形的性质、二次函数的最值．解答本题的关键是求出平行四边形AGEF的底边AF、底边上的高线CE的长度．