题目内容

已知直线y= $数学公式$ 与抛物线y= $数学公式$ 交于A、B两点，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中存在一个面积最大的三角形，最大面积为

A.
12 $数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：根据直线y= $\text{[math]}$ 与抛物线y= $\text{[math]}$ 可以求出A、B两点的坐标，过点A作AM∥x轴，交抛物线于点M，作MC⊥AM于C交x轴于点E，作PD⊥AM点D，交x轴于点F，则S_△ABP=S_{四边形BCDP}+S_△PDA-S_△ABC，就可以求出其值．
解答：

解：由题意，得
$\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴A（6，-3），B（-4，2）．
过点A作AM∥x轴，交抛物线于点M，作BC⊥AM于C交x轴于点E，作PD⊥AM点D，交x轴于点F．
∴C（-4，-3），
∴BC=5，AC=10，
∴S_△ABC=25，
设P（a，- $\text{[math]}$ a²+6），
∴PD=- $\text{[math]}$ a²+9，AD=6-a，
∴S_△PDA= $\text{[math]}$ ，
S_{四边形BCDP=} $\text{[math]}$
∴S_△ABP= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -25
=- $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴当a=1时，S_△ABP的最大值为 $\text{[math]}$ ，故C答案正确．
故选C．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用函数的解析式求函数图象的交点坐标，图形的面积计算方法的运用，利用抛物线的解析式求最值．