Question

【题目】如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．

（1）问题发现

①当时， ；②当时， ．

（2）拓展探究

试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

（3）问题解决

当旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）无变化，理由见解析； （3）或．

【解析】

（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，设AB=1，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少；

②α=180°时，可得AB∥DE，根据根据平行线分线段成比例定理可得 ，即求出的值是多少即可；
（2）首先根据图1判定，再判断出，判断出∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（3）分两种情况分析，E点在线段AB的延长线上和E点在线段AB上，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．

（1）∵，，

∴

①当时，

∵点，分别是边，的中点

∴AE=，BD=1

∴

故答案为：

②当时，如图：可得：AB∥DE

∴

∴

故答案为：

（2）无变化．

在图1中，∵是的中位线，

∴

∴，．

如图2，∵在旋转过程中形状大小不变，

∴仍然成立

又∵，

∴∽

∴

在中，

∴

∴

∴的大小不变

（3）如图3，当E点在线段AB的延长线上，

∵AB=2，则BC=1，AC= ， ，∠B=90°

∴∠EBC=90°

∴

∴AE=AB+BE=
由（2），可得：

∴

∴

如图4，E点在线段AB上，

∵AB=2，则BC=1，AC= ， ，∠B=90°

∴∠EBC=90°

∴

∴AE=AB-BE=

由（2），可得：

∴

∴

∴BD的长为或．