Question

若x，y为正实数，且x+y=4，那么

x2+1

+

y2+4

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：将x+y=4变形后代入

x2+1

+

y2+4

，再转化为轴对称最短路径问题解答即可．

解答：解：∵x+y=4，
∴y=4-x①，
将①代入

x2+1

+

y2+4

得，

x2+1

+

(4-x)2+4

②，
由②得，

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-4)2+(0-2)2

，
可理解为M（x，0）到A（0，1）和B（4，2）的距离的最小值．
作A关于轴的对称点A'（0，-1），连接A′B，与x轴交点即为M．
在Rt△A'DB中，A'B=

A′D2+BD2

=

32+42

=5．
故答案为：5．
如图：

点评：此题考查了利用两点间距离公式的几何意义解答最值问题，体现了数形结合思想的重要作用．