题目内容
（2010•资阳）如图甲，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，交⊙O于P、Q两点．连接AP，过O作OD∥AP交l于点D，连接AD与m交于点M．（1）如图乙，当直线m过点O时，求证：M是PO的中点；
（2）如图甲，当直线m不过点O时，M是否仍为PC的中点？证明你的结论．
分析：（1）连接PD，由已知条件证明四边形APDO是平行四边形即可证明M是PO的中点；
（2）M仍为PC的中点，通过证明△APC∽△ODB和△ACM∽△ABD，得到有关的比例式，再证明PC=2MC．
（2）M仍为PC的中点，通过证明△APC∽△ODB和△ACM∽△ABD，得到有关的比例式，再证明PC=2MC．
解答：证明：（1）连接PD，
∵AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四边形APDO是平行四边形，
∴M是PO中点；
（2）M仍为PC的中点，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴
=
①，
又易证△ACM∽△ABD，
∴
=
，
∵AB=2OB，
∴
=
，
∴
=
②，
由①②得，
=
，
∴即PC=2MC．
M仍为PC的中点．
∵AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四边形APDO是平行四边形，
∴M是PO中点；
（2）M仍为PC的中点，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴
| PC |
| BD |
| AC |
| BO |
又易证△ACM∽△ABD，
∴
| AC |
| AB |
| MC |
| BD |
∵AB=2OB，
∴
| AC |
| 2OB |
| MC |
| BD |
∴
| AC |
| OB |
| 2MC |
| BD |
由①②得，
| PC |
| BD |
| 2MC |
| BD |
∴即PC=2MC．
M仍为PC的中点．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质以及利用比例式证明线段相等，题目的难度不小．
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