Question

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．

Answer 1

分析：首先根据勾股定理求得斜边的长．再根据直角三角形斜边上的高等于两直角边相乘除以斜边，求得斜边上的高，即是弦的弦心距．再根据勾股定理求得弦的一半，即可计算AD的长．

解答：解：如右图所示，作CP⊥AB于P．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5．
由S_△ABC=

1

2

AB•CP=

1

2

AC•BC，
得

5

2

CP=

1

2

×3×4，所以CP=

12

5

．
在Rt△ACP中，由勾股定理，得：
AP=

AC2-CP2

=

32-( 12 5 )2

=

9

5

．
因为CP⊥AD，所以AP=PD=

1

2

AD，
所以AD=2AP=2×

9

5

=

18

5

．

点评：在圆中，作弦的弦心距是一条常见的辅助线．