题目内容

如图所示，在?ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于F点，连接EF．
（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）
（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？
（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．

解：（1）与线段EM一定相等的线段有2条，DE和BF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵AE、DE分别平分∠DAB和∠ADC
∴AE⊥DM，AE平分∠DAB．
∴ED=EM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∵AE、CF是角平分线．
∴∠DAE=∠BCF，
同理∠ADE=∠CBF，AD=BC．
∴△ADE≌△CBF
∴DE=BF，ED=EM．
∴BF=EM．

（2）EF+BC=AB．
由（1）易证∠AMD=∠ABF，
∴EM∥BF，EM=BF．
∴四边形EFBM是平行四边形．
∴EF=MB，BC=AD=AM．
∴EF+BC=AB．

（3）EF+AB=BC．
同（2）易知EFBM是平行四边形，
故BM=EF，BC=AD=AM，
∴AD=AM．
∴EF+AB=BC．
分析：（1）根据全等三角形的判定方法，结合题意可得△ADE≌△CBF；进而可得DE=BF，ED=EM；
（2）由（1）易得∠AMD=∠ABF，故EM∥BF进而可得根据平行线的性质可得EF=MB，BC=AD=AM，故有EF+BC=AB；
（3）根据题意，利用（2）的方法，易得EFBM是平行四边形，由平行四边形的性质，易得答案．
点评：本题考查的是平行四变形的性质，要求学生在平行四边形中利用角平分线的性质或分解出线线间的关系并比较大小．