Question

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）图（1），当t为何值时，AP=2AQ；

（2）图（2），当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3） 图（3），作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？      

　

图（1）                      图（2）                       图（3）

Answer 1

解：（1）△BPQ是等边三角形

当t时AP=6-t          AQ=2t               ∴6-t=2t          ∴t=2

（2））∵QD∥BA∴∠QRC=∠A=60°，∠DQC=∠B=60°    ∴△QDC是等边三角形

∴QD=DC=QC=6﹣2t       ∵BE=BQ•cos60°=×2t=t

∴EP=AB﹣AP﹣BE=6﹣t﹣t=6﹣2t   ∴EP∥QD，EP=QD    ∴四边形EPRQ是平行四边形

∴PD=EQ=t      又∵∠PEQ=90°，∴∠APR=∠PRQ=90°

∵△APD∽△PDQ，∴∠QPD=∠A=60°   ∴tan60°=    即       解得t=

∴当t= 时，△APR∽△PRQ．