Question

（2013•四会市二模）已知关于x的一元二次方程（k-1）x²-2kx+k+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若y关于x的函数y=（k-1）x²-2kx+k+2的图象过点（-1，k²-4）且与x轴有两个不同的交点．求出k的值，并请结合函数y=（k-1）x²-2kx+k+2的图象确定当k≤x≤k+2时y的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意得出△≥0进而得出答案；
（2）根据y=（k-1）x²-2kx+k+2的图象过点（-1，k²-4）且与x轴有两个不同的交点，建立关于k的方程，求出k的值；充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．

解答：解：（1）△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，
解得：k≤2．
k的取值范围是k≤2；

（2）∵y关于x的函数y=（k-1）x²-2kx+k+2的图象过点（-1，k²-4），
∴k²-4=（k-1）+2k+k+2，
解得：k₁=-1，k₂=5，
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴△＞0，由（1）得：k＜2，
∴k=-1，
如图：∵k₁=-1，y=-2x²+2x+1=-2（x-

1

2

）²+

3

2

．
且-1≤x≤1．
由图象知：当x=-1时，y_最小=-3；当x=

1

2

时，y_最大=

3

2

，
∴y的最大值为

3

2

，最小值为-3．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的最值，充分利用图象得出最值是解题的关键．