题目内容
在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC．（1）试写出四边形DFCE的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（2）试求出当t为何值时四边形DFCE的面积为20cm2？
（3）四边形DFCE的面积能为40吗？如果能，求出D到A的距离；如果不能，请说明理由．
（4）四边形DFCE的面积S（cm2）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．
【答案】分析：（1）可用t分别表示出AD、DE、BD、BF的长，由△ABC、△ADE、△BDF的面积差即可求得S、t的函数关系式．
（2）将S的值代入（1）的函数关系式中，即可求得t的值．
（3）将S=40代入（1）的函数解析式中，如果所得方程有解，根据求得的t值即可确定D到A的距离，若方程无解，则说明四边形的面积不能成为40．
（4）将（1）的解析式化为顶点坐标式，利用二次函数最值的相关知识进行求解即可．
解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°，
∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t
①S=
×12×12-
×2t×2t-
（12-2t）2=-4t2+24t（0≤t≤6）．
②当S=20时，-4t2+24t=20，
t2-6t+5=0，
解得t1=5，t2=1；
因此当t=1s或5s时，四边形的面积为20cm2．
③当S=40时，-4t2+24t=40，
t2-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴四边形的面积不能为40．
④四边形面积有最大值，
S=-4t2+24t=-4（t-3）2+36；
当t=3时，有最大值36，
此时D离A点6cm，D为AB的中点．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用，难度适中．
（2）将S的值代入（1）的函数关系式中，即可求得t的值．
（3）将S=40代入（1）的函数解析式中，如果所得方程有解，根据求得的t值即可确定D到A的距离，若方程无解，则说明四边形的面积不能成为40．
（4）将（1）的解析式化为顶点坐标式，利用二次函数最值的相关知识进行求解即可．
解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°，
∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t
①S=
×12×12-×2t×2t-（12-2t）2=-4t2+24t（0≤t≤6）．②当S=20时，-4t2+24t=20，
t2-6t+5=0，
解得t1=5，t2=1；
因此当t=1s或5s时，四边形的面积为20cm2．
③当S=40时，-4t2+24t=40，
t2-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴四边形的面积不能为40．
④四边形面积有最大值，
S=-4t2+24t=-4（t-3）2+36；
当t=3时，有最大值36，
此时D离A点6cm，D为AB的中点．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用，难度适中．
练习册系列答案
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求⊙O的半径．
如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，点D是AB的中点，点O是△ABC的重心，则OD的长为（ ）在Rt△ABC中，已知a及∠A，则斜边应为（ ）
| A、asinA | ||
B、
| ||
| C、acosA | ||
D、
|
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为（ ）| A、9：4 | B、9：2 | C、3：4 | D、3：2 |