题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时
，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求CD的长及∠1的度数；
（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？
分析：（1）将AB平移，使点A与点D重合，利用勾股定理，则可得出CD的长度，根据CD与AD的长度关系可得出∠DAC的度数，也就得出了∠1的度数．
（2）根据点G落在BC上时，有GE=DE=x，EC=3
-x，求出∠GEF=∠GEC=60°，然后根据GE=2CE列出方程即可得出x的值．
（3）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可．
（2）根据点G落在BC上时，有GE=DE=x，EC=3
| 3 |
（3）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可．
解答：
解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=
AB=6×
=3，AH=
=3
，
∵∠D=∠BCD=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴CD=AH=3
，
∵AD=9，
∴tan∠DAC=
=
，
∴∠DAC=30°，
∵EF∥AC，
∴∠1=∠DAC=30°，
∴CD=3
，∠1=30°；
（2）若点G恰好在BC上，
则有GE=DE=x，EC=3
-x，
∵∠1=30°，
∴∠FED=60°，
∴∠GEF=60°，
∴∠GEC=60°，
∴GE=2CE，
∴x=2(3
-x)，
∴x=2
；
（3）∵△EFG≌△EFD，
①y=S△EFD=
×DE×DF=
x2，当0≤x≤2
时，y随着x的增大，面积增大，
此时△的面积就是重叠的面积，当x=2
时，达到最大值，为6
．
②当3
＞x＞2
，△EFG就有一部分在梯形外，如图，
∵GE=DE=x，EC=3
-x，
易求ME=2(3
-x)，
∴GM=GE-ME=x-2(3
-x)=3x-6
，
∴NG=
=
x-6，
∴S△MNG=
NG×MG=
(
x-6)(3x-6
)=
(
x-6)2，
此时y=S△EFD-S△MNG=
×DE×DF-
NG×MG=
x2-
(
x-6)2=-
(x2-6
x+18)，
=-
(x2-6
x+18)=-
(x-3
)2+9
，
当x=3
时，ymax=9
．
综上所述．当x=3
时，ymax=9
．
解：（1）过点A作AH⊥BC于H，∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AB2-BM2 |
| 3 |
∵∠D=∠BCD=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴CD=AH=3
| 3 |
∵AD=9，
∴tan∠DAC=
| CD |
| AD |
| ||
| 3 |
∴∠DAC=30°，
∵EF∥AC，
∴∠1=∠DAC=30°，
∴CD=3
| 3 |
（2）若点G恰好在BC上，
则有GE=DE=x，EC=3
| 3 |
∵∠1=30°，
∴∠FED=60°，
∴∠GEF=60°，
∴∠GEC=60°，
∴GE=2CE，
∴x=2(3
| 3 |
∴x=2
| 3 |
（3）∵△EFG≌△EFD，
①y=S△EFD=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
此时△的面积就是重叠的面积，当x=2
| 3 |
| 3 |
②当3
| 3 |
| 3 |
∵GE=DE=x，EC=3| 3 |
易求ME=2(3
| 3 |
∴GM=GE-ME=x-2(3
| 3 |
| 3 |
∴NG=
3x-6
| ||
|
| 3 |
∴S△MNG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
此时y=S△EFD-S△MNG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
当x=3
| 3 |
| 3 |
综上所述．当x=3
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查直角梯形与三角形的综合，难度较大，解答本题的关键是掌握基础知识，然后将所求的题目具体化，从而利用所学的知识建立模型，然后有序解答．
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