Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点M的坐标为（﹣1，﹣4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

（1）填空：b= ，c= ，直线AC的解析式为 ；

（2）直线x=t与x轴相交于点H．

①当t=﹣3时得到直线AN（如图1），点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD=∠MAN，求出此时点D的坐标；

②当﹣3＜t＜﹣1时（如图2），直线x=t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．

Answer 1

【答案】（1）2，﹣3，y=﹣x﹣3；（2）①D（，）；②t=．

【解析】

试题分析：（1）根据顶点坐标列出关于b、c的方程组求解可得，由抛物线解析式求得A、C坐标，利用待定系数法可得直线AC解析式；

（2）①设点D的坐标为（m，），由∠COD=∠MAN得tan∠COD=tan∠MAN，列出关于m的方程求解可得；②求出直线AM的解析式，进而可用含t的式子表示出HE、EF、FP的长度，根据等腰三角形定义即可判定；由等腰三角形底角的余弦值为可得=，列方程可求得t的值．

试题解析：（1）∵抛物线的顶点M的坐标为（﹣1，﹣4），∴，解得：，∴抛物线解析式为：，令y=0，得：，解得：，，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x=0，得y=﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为：y=kx+b，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3；故答案为：2，﹣3，y=﹣x﹣3．

（2）①设点D的坐标为（m，），∵∠COD=∠MAN，∴tan∠COD=tan∠MAN，∴，解得：m=，∵﹣3＜m＜0，∴m=，故点D的坐标为（，）；

②设直线AM的解析式为y=mx+n，将点A（﹣3，0）、M（﹣1，﹣4）代入，得：，解得：，∴直线AM的解析式为：y=﹣2x﹣6，∵当x=t时，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=，∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，∵HE+EF﹣FP==＞0，∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，∴当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；

由题意得：=，即=，整理得：，解得：， ，∵﹣3＜t＜﹣1，∴t=．