Question

如图直线l与x轴、y轴分别交于点B、A两点，且A、B两点的坐标分别为A（0，3），B（-4，0）．
（1）请求出直线l的函数解析式；
（2）点P在x轴上，且ABP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点C为直线AB上一个动点，是否存在使点C到x轴的距离为1.5？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线l的函数解析式是y=kx+b（k≠0），把满足条件的点的坐标代入，求出k、b即可；
（2）设P（x，0），则根据两点间的距离公式列方程，把A（0，3），B（-4，0）代入求值；
（3）假设存在使点C（x，1.5）到x轴的距离为1.5的点C存在，把该点代入（1）的函数解析式若适合，则存在；反之，不存在．

解答：解：（1）设y=kx+b（k≠0），（1分）
由题意，得

b=3 -4k+b=0

得

k=0.75 b=3

（3分）
∴y=0.75x+3．（4分）

（2）设P（x，0）．
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当|PA|=|PB|时，

x2+9

=

(x+4)2

，
解得x=-

7

8

，
∴P（-

7

8

，0）；
②当|AB|=|AP|时，

x2+9

=

16+9

，
解得x=±4，
∵P点与B点不重合，
∴P（4，0）；
③当|AB|=|BP|时，

(-4)2+32

=

(x+4)2

，
解得，
x=-9或x=1，
∴P（-9，0）或（1，0）；
∴所有符合条件的点P的坐标是P₁（-

7

8

，0），P₂（4，0），P₃（-9，0），P₄（1，0）．

（3）假设存在点C（x，±1.5）到x轴的距离为1.5，则点C（x，±1.5）满足方程y=0.75x+3，
①当C（x，1.5）时，
1.5=0.75x+3，解得x=-2，
∴点C（-2，1.5）存在；
②当C（x，-1.5）时，
-1.5=0.75x+3，解得x=-6，
所以C（-6，-1.5）存在．
∴存在点C（x，±1.5）到x轴的距离为1.5，其坐标是（-2，1.5）或（-6，-1.5）．

点评：（1）用待定系数法求一次函数解析式；
（2）分类讨论：|PA|=|PB|；|AB|=|AP|；|AB|=|BP|，不要漏解；
（3）正确理解直线上的点与直线方程是一一对应关系．