Question

如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F．试说明：（1）△ABE∽△CBD；（2）CD∥AB．

Answer 1

分析：（1）△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，可得出∠ABE和∠CBD相等，又

EB

BD

=

AB

BC

=

2

2

，根据相似三角形的判定SAS即可证明；
（2）利用BDCE四点共圆，及△ABC、△DEB为等腰直角三角形，先证明∠CDB+∠ABD=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行进行证明．

解答：证明：（1）△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，
∴∠ABE=∠CBD，

EB

BD

=

AB

BC

=

2

2

，
∴△ABE∽△CBD；

（2）∵∠ACB=∠EDB=90°
∴点B、D、C、E四点共圆，
∠CDE=∠CBE，∠CBD=∠ABE；
∵△ABC、△DEB为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠EBD=45°，
∠ABC=∠ABE+∠EBC，
∠EBD=∠EBC+∠CBD，
得，∠CBD=∠ABE，
又∵∠CBD=∠ABE，
∴∠CBD+∠EBC=∠ABE+∠EBC=45°，
∴∠CDB+∠ABD=180°，
∴CD∥AB．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的知识，有一定难度，注意这些知识的灵活综合运用．