Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，BC=8，CD=10，E为AD的中点，点P从C点出发，沿着折线CDA以每秒1个单位的速度向A点运动，当P点运动到A点时停止运动，点P运动t秒．
（1）t取何值时，PE⊥AD；
（2）在（1）的条件下，能否在BC边上找到一点Q，使四边形AEPQ为矩形？若能则指出Q点的位置，若不能则说明理由；
（3）AC与BP互相垂直时直接写出t的值．

Answer 1

分析：（1）作AF⊥CD于F．根据相似三角形的判定得△ADF∽△PDE，再根据相似三角形的对应边的比相等求解；
（2）作AG⊥AD交BC于G，根据相似三角形的判定得到△ADF∽△AGB，从而求得AG的长，再根据勾股定理求得PE的长，进一步判断；
（3）根据（1）知AD=CD，则∠2=∠3，根据平行线的性质，得∠1=∠3，则∠1=∠2，再结合要使AC与BP互相垂直，则此时AP=AB=4，即t=16．

解答：（1）解：作AF⊥CD于F．
根据题意，得
AF=BC=8，DF=CD-AB=10-4=6，PD=10-t，
根据勾股定理，得AD=10，
又E为AD的中点，
∴DE=5．
要使PE⊥AD，则需△PDE∽△ADF，
即

PD

AD

=

DE

DF

，
即

10-t

10

=

5

6

，
解，得t=

5

3

；

（2）作AG⊥AD交BC于G，则∠1=∠2．
∴△ADF∽△AGB，
∴

AD

AG

=

AF

AB

，
即

10

AG

=

8

4

，
则AG=5．
由（1），得PE=

625 9 -25

=

20

3

≠5，
所以在（1）的条件下，不能在BC边上找到一点Q，使四边形AEPQ为矩形；

（3）AC与BP互相垂直时，则t=16．

点评：此题综合运用了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等，有一定的难度．