Question

（2012•温州）如图，已知动点A在函数y=

4

x

(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于

13

3

．

Answer 1

分析：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F．令A（t，

4

t

），则AD=AB=DG=

4

t

，AE=AC=EF=t，则图中阴影部分的面积=△ACE的面积+△ABD的面积=

1

2

t²+

1

2

×

16

t2

，因此只需求出t²的值即可．先在直角△ADE中，由勾股定理，得出DE=

t4+16

t

，再由△EFQ∽△DAE，求出QE=

t t4+16

4

，△ADE∽△GPD，求出DP=：

4 t4+16

t3

，然后根据QE：DP=4：9，即可得出t²=

8

3

．

解答：解：解法一：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F．
令A（t，

4

t

），则AD=AB=DG=

4

t

，AE=AC=EF=t．
在直角△ADE中，由勾股定理，得DE=

AD2+AE2

=

16 t2 +t2

=

t4+16 t2

=

t4+16

t

．
∵△EFQ∽△DAE，
∴QE：DE=EF：AD，
∴QE=

t t4+16

4

，
∵△ADE∽△GPD，
∴DE：PD=AE：DG，
∴DP=

4 t4+16

t3

．
又∵QE：DP=4：9，
∴=

t t4+16

4

：

4 t4+16

t3

=4：9，
解得t²=

8

3

．
∴图中阴影部分的面积=

1

2

AC²+

1

2

AB²=

1

2

t²+

1

2

×

16

t2

=

4

3

+3=

13

3

；

解法二：∵QE：DP=4：9，
∴EF：PG=4：9，
设EF=4t，则PG=9t，
∴A（4t，

1

t

），
由AC=AE AD=AB，
∴AE=4t，AD=

1

t

，DG=

1

t

，GP=9t，
∵△ADE∽△GPD，
∴AE：DG=AD：GP，
4t：

1

t

=

1

t

：9t，即t²=

1

6

，
图中阴影部分的面积=

1

2

×4t×4t+

1

2

×

1

t

×

1

t

=

13

3

．
故答案为：

13

3

．

点评：本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．根据QE：DP=4：9，得出t²的值是解题的关键．