Question

如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧 上一点，连接 BD，AD，OC，∠ADB=30°．
【小题1】求∠AOC的度数；
【小题2】若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【小题1】60°  
【小题2】4π

解析考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算。
分析：（1）先根据垂径定理得出BE=CE，弧AB=弧AC，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；
（2）先根据勾股定理得出OE的长，再连接OB，求出∠BOC的度数，再根据S_阴影=S_扇形OBC-S_△OBC计算即可。
解答：
（1）连接OB，

∵BC⊥OA，
∴BE=CE，弧AB=弧AC，
又∵∠ADB=30°，
∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，
∴∠AOC=60°。
（2）∵BC=6，
∴CE=1/2BC=3，
在Rt△OCE中，OC="CE/" sin60°=2，
∴OE=，
∵弧AB=弧AC，
∴∠BOC=2∠AOC=120°，
∴S_阴影=S_扇形OBC-S_△OBC
=120/360×π×（2）²-1/2×6×
=4π-3（cm²）。
点评：本题考查的是垂径定理，涉及到圆周角定理及扇形面积的计算，勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键。