Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连结EF，若BC=9，CA=12，求的值；
（3）若F是弧BD的中点，过F作FG⊥BE于G．求证：GF=BD．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，
连结OD，
∵∠C=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+CA²=9²+12²=225，
∴AB=15，
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴r=，
即BE=，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BFE=90°，
∴△BEF∽△BAC，
∴===，；

（3）连结OF，交BD于H，
∵F是弧BD的中点，OF是⊙O的半径，
∴BH=BD，∠BHO=90°，
∵FG⊥BE，
∴∠FGO=∠BHO=90°，
又∵OF=BO，∠FOG=∠BOH，
在△FOG和△BOH中，
，
∴△FOG≌△BOH（AAS），
∴GF=BH=BD．
分析：（1）先根据DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，得出BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连结OD，根据∠C=90°，得出∠DBC+∠BDC=90°，再根据∠ABD=∠DBC，
∠ABD=∠ODB，得出∠ODB+∠BDC=90°，∠ODC=90°，即可证出AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，先求出AB=15，再根据∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°，证出△ADO∽△ACB，得出=，BE=，根据BE是⊙O的直径，得出∠BFE=90°，则△BEF∽△BAC，从而证出===；
（3）连结OF，交BD于H，先证出BH=BD，∠BHO=90°，在证出∠FGO=∠BHO=90°，最后根据OF=BO，∠FOG=∠BOH，证出△FOG≌△BOH，即可得出答案．
点评：本题考查了圆的综合，用到的知识点是圆的有关性质、切线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，关键是根据题意画出辅助线．