Question

如图，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的两侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN，延长MP交CN于点E．
（1）求证：△BPM≌△CPE；
（2）求证：PM=PN．

Answer 1

分析：（1）由BM与CN都与直线a垂直，得到一对直角相等，即一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行得到BM与CN平行，再由两直线平行内错角相等得到一对角相等，又P为BC的中点，得到BP=CP，再由一对对顶角相等，利用ASA即可得到三角形BPM与三角形CPE全等，得证；
（2）由（1）的两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到PM=PE，在直角三角形MNE中，由P为斜边ME的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出NP为ME的一半，即可得到PM=PN，得证．

解答：证明：（1）∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC边中点，
∴BP=CP，
在△BPM和△CPE中，

∠MBP=∠ECP BP=CP ∠BPM=∠CPE

，
∴△BPM≌△CPE（ASA）；
（2）∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE=

1

2

ME，
在Rt△MNE中，
∵PM=PE，即NP为斜边ME上的中线，
∴PN=

1

2

ME，又PM=

1

2

ME，
则PM=PN．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，是一道证明题，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．