Question

如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y轴于点D，且D为B₁C₁的中点，抛物线y=ax²+bx+c过点A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=______；抛物线的函数表达式是______；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2个单位长度的速度沿射线A₁O下滑，直至顶点B₁落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）①∵四边形A₁B₁C₁O为正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中点，
∴．
∵由旋转性质可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=．
∴tanα的值是．
②过点A₁作A₁E⊥x轴，垂足为点E．
在Rt△A₁EO中，tanα=，
∴．
设A₁E=k，则OE=2k，在Rt△A₁EO中，，
根据勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵点A₁在第二象限，
∴点A₁的坐标为（-2，1）．
直接写出点B₁的坐标为（-1，3），点C₁的坐标为（1，2）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A₁，B₁，C₁．
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为．

（2）将（1）的抛物线解析式配方，得．
∴抛物线的对称轴是直线．
假设存在符合条件的点P，分三种情况：
①以点B₁为直角顶点；
易求得，直线A₁B₁的解析式：y=2x+5，
当x=-时，y=2×（-）+5=；
②以点C₁为直角顶点；
易求得，直线OC₁的解析式：y=2x，
当x=-时，y=2×（-）=-；
③以点P为直角顶点；
分别过点B₁、C₁作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、H；（如右图）
设点P（-，y）：
当点P在直线B₁C₁上方时，
B₁G=1-=、PG=y-3、C₁H=1+=、PH=y-2
∵∠B₁PG=90°-∠C₁PH=∠PC₁H，∠B₁GP=∠PHC₁=90°
∴△B₁GP∽△PHC₁，则
解得：y=、y=（舍）；
当点P在直线B₁C₁下方时，同上，可求得y=；
综上，存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形．
满足条件的点P共有4个：，，，．

（3）设运动后的正方形为O′A′B′C′，分三种情况：
①当点A′运动到x轴上时，t=；
当0＜t≤时，如图①；
OO′=2t，O′E=OO′=t
∴S=S_正方形-S_△OO′E=5-×2t×t=-5t²+5；
②当点C′运动到x轴上时，t=1；
当＜t＜1时，如图②；
OO′=2t，OA′=2t-，A′F=OA′=，O′E=OO′=t
B′F=A′B′-A′F=，C′E=O′C′-O′E=-t；
∴S=（B′F+C′E）×B′C′=（+-t）×=；
③当点B′运动到x轴上时，t=；
当1≤t＜时，如图③；
同②可得：B′F=A′B′-A′F=，B′E=2B′F=3-2t；
∴S=××（3-2t）=5t²-15t+；
综上，S=．

分析：（1）①在Rt△ODC₁中，由旋转的性质知，∠DOC₁=α，而DC₁是正方形边长的一半，可据此求出∠α的正切值；
②在求抛物线的解析式中，必须先求出A₁、B₁、C₁三点的坐标，可过这三点分别作坐标轴的垂线（具体向哪条坐标轴作垂线，可视情况而定），通过构建的直角三角形以及∠α的正切值，可求出这三点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可．
（2）首先要大致确定有几个符合条件的点P：
①点B₁是直角顶点，那么点P必为直线A₁B₁与抛物线对称轴的交点（有一个）；
②点C₁是直角顶点，那么点P必为直线OC₁与抛物线对称轴的交点（有一个）；
③点P是直角顶点，那么点P必为以线段B₁C₁为直径的圆与抛物线对称轴的交点（有两个），可过B₁、C₁作对称轴的垂线，通过构建的相似三角形来求出点P的坐标．
（3）此题的思路并不复杂，但需要考虑的情况较多，大致分成三段考虑即可：
①x轴在O、A₁两点之间、②x轴在A₁、C₁两点之间、③x轴在B₁、C₁两点之间．
点评：此题涉及的内容相等复杂，难度很大，主要考查的知识点有：函数解析式的确定、正方形的性质、图形的旋转、解直角三角形的应用、相似三角形与直角三角形的判定和性质以及图形面积的解法等等．后两题涉及的情况较多，一定要注意分类讨论．最后一题中，一定要注意t的不同取值范围内，正方形的运动位置．