Question

如图，在一些大小相等的正方形内分别紧密排列着一些等圆．

（1）根据你的观察与分析，你认为正方形内圆的数目是否呈规律性的变化？如果是，则第n个图形中共有

n²

个圆；
（2）若正方形的边长是a，分别计算图①、②、③中阴影部分的面积；
（3）分析（2）中计算的结果，你有什么发现？请你求出第n个图形中阴影部分的面积来说明你的发现．

Answer 1

分析：（1）观察上图可知第①个图形圆的个数是1²=1，第②个图形圆的个数是2²=4，第③个图形圆的个数是3²=9，第④个图形圆的个数是4²=16，第⑤个图形圆的个数是5²=25，第⑥个图形圆的个数是6²=36；由（1）可知第n个正方形中圆的个数为n²个；
（2）分别计算阴影部分的面积后即可得到答案；
（3）同样计算阴影部分面积与上题结论相同，从而得到结论．

解答：解：（1）图形①圆的个数是1，
图形②圆的个数是4，
图形③圆的个数是9，
图形④圆的个数是16，
图形⑤圆的个数是25，
图形⑥圆的个数是36；
第n个正方形中圆的个数为n²个；

（2）图①中 S阴影=a2-π•(

a

2

)2=

4-π

4

a2
图②中 S阴影=a2-4•π•(

a

4

)2=

4-π

4

a2
图③中  S阴影=a2-9•π•(

a

6

)2=

4-π

4

a2；

（3）三个图形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关．
第n图形中阴影部分的面积是S阴影=a2-n•π•(

a

2n

)2=

4-π

4

a2
它是一个与n的取值无关的数值，
因此：按以上规律得到的所有图形的阴影部分的面积
是一个与n无关的定值．

点评：考查了规律型：图形的变化，认真观察图形，发现图形的变化规律，得出第n个正方形中圆的个数为n²个是此题的关键．