Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜边AC上的一个动点，则△PEF周长的最小值为

34

+2

10

．

Answer 1

分析：由于△PEF的周长=EF+PF+PE，而EF为定值，所以当PF+PE取最小值时，△PEF的周长最小．为此，作点B关于AC的对称点D，连接AD，CD，取AD的中点E′，连接E′F，与AC交于点P，此时PF+PE=E′F，值最小，然后在Rt△E′FG中利用勾股定理求解即可．

解答：解：如图，作点B关于AC的对称点D，连接AD，CD，则AC垂直平分BD，
又∵AB=BC，
∴BD平分AC，且AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形．
取AD的中点E′，连接E′F，与AC交于点P．
∵E，E′关于AC对称，
∴PE=PE′，
此时PF+PE=PF+PE′=E′F，值最小．
过点F作FG⊥AD于G．
在Rt△E′FG中，∠E′GF=90°，FG=AB=6，GE′=3-1=2，
∴E′F=

FG2+GE′2

=

62+22

=2

10

，
∵EF=

BE2+BF2

=

32+52

=

34

，
∴△PEF周长的最小值=EF+E'F=

34

+2

10

．
故答案为

34

+2

10

．

点评：本题考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，综合性较强，有一定难度，准确作出辅助线，确定P点的位置是解题的关键．