Question

如图，半径为的⊙O内有两条互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点。

（1）求证：PA·PB=PC·PD；
（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴，
∴P·PB=PC·PD；
（2）证明：∵F为BC中点，△BPC为Rt△，
∴FP=FC，
∴∠C=∠CPF，
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理：
∴OM²=-4²=4，ON²=-3²=11，又易证四边形MONP是矩形，
∴OP=。