题目内容
如图，已知∠ABC=60°，以线段AB为底边，在线段AB的右侧作底角为α的等腰△ABE，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），以AP为底边在线段AP的右侧作底角为α的等腰△APQ，连接QE并延长交BC于点F．
（1）如图1，当α=50°时，∠EBF=
（2）当α=45°时，猜想∠QFC的度数，并证明你的结论；
（3）如图2，当α为任意角（0°＜α＜60°）时，猜想∠QFC的度数是多少？（不需说明理由）
（1）如图1，当α=50°时，∠EBF=
10
10
°，猜想∠QFC=50
50
°；（2）当α=45°时，猜想∠QFC的度数，并证明你的结论；
（3）如图2，当α为任意角（0°＜α＜60°）时，猜想∠QFC的度数是多少？（不需说明理由）
分析：（1）根据∠EBF=∠ABC-α计算即可得解，猜想∠QFC=α；
（1）根据两角对应相等两三角形相似求出△ABE和△APQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得
=
，再求出∠QAE=∠PAB，然后利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似判断出△AQE和△APB相似，根据相似三角形对应角相等可得∠AEQ=∠ABC，然后求出∠BEF，再求出∠EBF，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠QFC=∠EBF+∠BEF代入数据计算即可得解；
（3）根据（2）的思路把45°用α表示求解即可．
（1）根据两角对应相等两三角形相似求出△ABE和△APQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得
| AQ |
| AE |
| AP |
| AB |
（3）根据（2）的思路把45°用α表示求解即可．
解答：解：（1）∠EBF=∠ABC-α=60°-50°=10°，
猜想：∠QFC=50°；
（2）猜想∠QFC=45°．
证明：∵等腰△ABE和等腰△APQ的底角都是α，
∴△ABE∽△APQ，
∴
=
，
∵∠QAP=∠EAB，
∴∠QAP+∠PAE=∠EAB+∠PAE，
即∠QAE=∠PAB，
∴△AQE∽△APB，
∴∠AEQ=∠ABC=60°，
∵∠AEB=180°-2×45°=90°，
∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，
∵∠EBF=∠ABC-∠ABE=60°-45°=15°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=15°+30°=45°；
（3）根据（2）∠AEQ=∠ABC=60°，
在等腰△ABE中，∠AEB=180°-2α，
∴∠BEF=180°-（180°-2α）-60°=2α-60°，
又∵∠EBF=∠ABC-∠ABE=60°-α，
∴∠QFC=∠BEF+∠EBF=2α-60°+60°-α=α．
猜想：∠QFC=50°；
（2）猜想∠QFC=45°．
证明：∵等腰△ABE和等腰△APQ的底角都是α，
∴△ABE∽△APQ，
∴
| AQ |
| AE |
| AP |
| AB |
∵∠QAP=∠EAB，
∴∠QAP+∠PAE=∠EAB+∠PAE，
即∠QAE=∠PAB，
∴△AQE∽△APB，
∴∠AEQ=∠ABC=60°，
∵∠AEB=180°-2×45°=90°，
∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，
∵∠EBF=∠ABC-∠ABE=60°-45°=15°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=15°+30°=45°；
（3）根据（2）∠AEQ=∠ABC=60°，
在等腰△ABE中，∠AEB=180°-2α，
∴∠BEF=180°-（180°-2α）-60°=2α-60°，
又∵∠EBF=∠ABC-∠ABE=60°-α，
∴∠QFC=∠BEF+∠EBF=2α-60°+60°-α=α．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法与相似三角形对应角相等求出∠AEQ=∠ABC是解题的关键．
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