Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．

（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

Answer 1

（1）证明：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

在△CBF和CADF中，

，

∴△CBF≌△CDF（SAS），

 

（2）解：∵△ABC≌△ADC，

∴△ABC和△ADC是轴对称图形，

∴OB=OD，BD⊥AC，

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∵AC=2，BD=2，

∴OA=，OB=1，

∴AB===2，

∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．

 

（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，

∵△BCF≌△DCF，

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，

∴∠EFD=∠BCD．