Question

【题目】（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：

如图①，已知是等边三角形，点为边上中点，，交等边三角形外角平分线所在的直线于点，试探究与的数量关系．

小明发现：过作，交于，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出与的数量关系，并说明理由．

（2）（类比探究）

如图②，当是线段上（除外）任意一点时（其他条件不变）试猜想与的数量关系并证明你的结论．

（3）（拓展应用）

当是线段上延长线上，且满足（其他条件不变）时，请判断的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）是等边三角形，理由见解析．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得，然后根据平行线的性质可得，从而证出是等边三角形，即可证出，然后证出、，最后利用ASA即可证出，从而得出结论；

（2）过作交于，同理可知是等边三角形，从而证出，再证出和，利用ASA即可证出，从而得出结论；

（3）根据等三角形的性质和已知条件可得，再根据三线合一可得垂直平分，从而得出，再根据等边三角形的判定即可证出结论．

解：（1），理由如下：

∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

又，

∴，

∵是外角平分线，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∴在与中，

∴，

∴；

（2）

证明：过作交于，

∵是等边三角形，

∴是等边三角形，

∴BF=BD

∴

∵，，

∴

∵是外角平分线，

∴，

∴，

∴

在与中，

∴，

∴；

（3）是等边三角形，

∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵是等边三角形外角平分线．

∴垂直平分，

∴，

∵，

∴是等边三角形．