Question

如图，已知抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B(-1，0)和点C(3，0)．

(1)求抛物线的表达式和对称轴；

(2)设抛物线的对称轴与直线AC交于点D，连接AB、BD，求△ABD的面积；

(3)点M为抛物线上一动点，过点M作y轴的平行线MN，与直线AC交于点N．问在抛物线上是否存在点M，使得以D、N、M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

．解：（1）∵抛物线经过B(－1，0)和C(3，0)

∴解得

∴抛物线的表达式为

∴对称轴为直线x＝1   …………………………………………………3分

(2)令x＝0得y＝3 ∴A(0,3)

设AC的解析式为y=kx+b将A（0，3）、C（3，0）代入得

∴直线AC的解析式为y＝－x＋3

当x＝1时，y＝2  ∴D(1,2)

∴…………6分

(3)假设存在点M，使得以D、M、N为顶点的三角形与△AOC相似。

在Rt△AOC中，∵OA=OC=3，∴Rt△AOC为等腰直角三角形，

∴∠OAC=∠OCA=45°，则以D、M、N为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。

由MN∥OA得∠MND=∠OAC=45°，故以D、M、N为顶点的直角三角形只能以点D或M为直角顶点。…………………………………………………………7分

①当M为直角顶点时，DM⊥MN，此时△DMN∽△COA，∴DM所在的直线为y=2

由解得x=1±，∴M(或M（。………9分

②当D为直角顶点时，DM⊥AC，此时△DMN∽△OCA

∵D在对称轴上，∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=45⁰，∴∠ BDC=90⁰，∴BD⊥AC，

故M在直线BD上。…………10分

设BD的解析式为y=kx+b,将B、D的坐标代入得

∴BD的解析式为y=x+1

由。将x=-1代入y=x+1得y=0 ，∴M(-1,0)

将x=2代入y=x+1得y=3，∴M(2,3)

综上所述，在抛物线上存在点M，使得以D、N、M为顶点的三角形与△ACO相似，点M的坐标为(，（，（-1，0），(2,3)