Question

小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O处，两条直角边与抛物线y=ax²（a＜0）交于A、B两点．
（1）如图1，当OA=OB=2时，则a=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根据二次函数图象的对称性以及等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，然后代入函数解析式，计算即可求出a的值；
（2）根据OC=1可知点B的横坐标为1，再根据二次函数解析式求出点B的纵坐标，从而得到BC的长度，再过点A作推出AD⊥x轴于点D，然后推出△DAO与△COB相似，然后设出点A的坐标并表示出OD、AD的长度，根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算即可得解；
（3）根据二次函数解析式，设点A、B的坐标分别为A（m，-m²）、B（n，-n²），根据相似三角形对应边成比例列式求出mn=2，再利用待定系数法列式求出直线AB的解析式，根据解析式的常数项是常数-即可得解．
解答：解：（1）∵OA=OB=2，
∴等腰Rt△AOB关于y轴对称，
∴点A的坐标为（-，-），
∴a（-）²=-，
解得a=-；

（2）由（1）可知抛物线的解析式为y=-x²，
∵OC=1，
∴y_B=-，
∴B（1，-），
过点A作AD⊥x轴于点D，又BC⊥x轴于点C，
∴∠ADO=∠BCO=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AO⊥OB，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△DAO∽△COB，
∴=，
设点A坐标为（x，-x²），则OD=-x，AD=-x²，
∴=，
解得x=-2，
∴y_A=-2，
故点A的坐标为（-2，-2）；

（3）定点坐标是（0，-）．
理由如下：根据（1）的结论，设点A、B的坐标为A（m，-m²）、B（n，-n²），
根据（2）△DAO∽△COB，
∴=，
即=，
整理得，mn=-2，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴b=-2×=-，
∴三角板绕点O旋转任意角度时，直线AB的倾斜发生变化，但总是与y轴相交于点（0，-），
即线段AB总经过一个定点（0，-）．
点评：本题是对二次函数的综合考查，有等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化，相似三角形的判定与性质，旋转变换的性质，待定系数法求函数解析式，综合性较强，难度较大．