Question

已知关于x的方程（m-1）x²-（2m-1）x+2=0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若方程只有整数根，求整数m的值．

Answer 1

分析：（1）利用根的判别式△=b²-4ac直接进行判断即可；
（2）首先计算出方程的解，再根据方程只有整数根，讨论m的值．

解答：（1）证明：∵△=[-（2m-1）]²-4×（m-1）×2=4m²-12m+9=（2m-3）²≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；

（2）x=

2m-1± (2m-3)2

2(m-1)

=

2m-1±(2m-3)

2(m-1)

，
x₁=

2m-1+2m-3

2(m-1)

=2，x₂=

2m-1-2m+3

2(m-1)

=

1

m-1

，
∵方程只有整数根，
∴m-1=±1，
解得：m=0或2．

点评：此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．