Question

已知反比例函数y=图象过第二象限内的点A（-2，2），若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=的图象上另一点B（m，-1），与x轴交于点M．
（1）求反比例函数的解析式和直线y=ax+b解析式．
（2）若点C的坐标是（0，-2），求△CAB的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵反比例函数图象过第二象限内的点A（-2，2），
∴，
解得k=-4，
∴反比例函数的解析式为：．
∵点B（m，-1）经过反比例函数的图象上，
∴，
解得m=4，
∴点B坐标为（4，-1）．
∵点A（-2，2）、点B（4，-1）经过直线y=ax+b，
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：；

（2）设一次函数与y轴的交点为N（0，1），则ON=1．
∵C点坐标为（0，-2），
∴OC=2，
∴S_△ACB=S_△ANC+S_△BNC=×3×2+×3×4=9；

（3）在x轴上存在点P，能使△PAO为等腰三角形．理由如下：
过A点作AD⊥x轴于D．
∵点A（-2，2），
∴OA=．
分三种情况：
①以O为顶点，OA为腰，则OP=OA=．
∵点P在x轴上，
∴P₁（2，0），P₂（-2，0）；
②以A为顶点，AO为腰，则AP=AO，
又∵AD⊥x轴，
∴AD为底边OP的垂直平分线，
∴OP=2OD=2×2=4，
∵点P在x轴上，
∴P₃（-4，0）；
③以P为顶点，即以AO为底，作AO的垂直平分线交x轴于点P．
∵Rt△ADO中，AD=OD=2，
∴D在OA的垂直平分线上，
∴D与P重合，
∴P₄（-2，0）．
综上可知，在x轴上存在点P₁（2，0），P₂（-2，0），P₃（-4，0），P₄（-2，0），能使△PAO为等腰三角形．
分析：（1）先将点A（-2，2）代入反比例函数的解析式y=，求出k=-4，再由反比例函数y=的图象经过点B（m，-1），得到m=4，然后将A、B两点的坐标代入直线y=ax+b，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）设一次函数与y轴的交点为N，先求出N点坐标，再根据S_△ACB=S_△ANC+S_△BNC，即可求解；
（3）分三种情况讨论：①以O为顶点，OA为腰；②以A为顶点，AO为腰；③以P为顶点，即以AO为底，根据等腰三角形的性质及已知条件即可求解．
点评：本题是反比例函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，第三问进行分类讨论是解题的关键．