题目内容
如图，已知P是圆O直径AB延长线上的一点，割线PCD交圆O于C，D两点，弦DF垂直
AB于点H，CF交AB于点E．求证：PA•PB=PO•PE．
分析：连接OD，得出△DOP∽△ECP，利用相似三角形的性质列出比例式，从而得出PA•PB=PO•PE．
解答：
证明：连接OD，
∵圆心角∠AOD对于
，
是
的一半，
而圆周角∠DCF对应
，
∴∠AOD=∠DCF，
∵∠DOP=180°-∠AOD，∠ECP=180°-∠DCF，
∴∠DOP=∠ECP，
又∠P为公共角，
∴△DOP∽△ECP，
∴PO：PC=PD：PE，
∴PC•PD=PO•PE，
又PC•PD=PB•PA，
∴PB•PA=PO•PE．
证明：连接OD，∵圆心角∠AOD对于
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| AD |
|
| AD |
|
| DF |
而圆周角∠DCF对应
|
| DF |
∴∠AOD=∠DCF，
∵∠DOP=180°-∠AOD，∠ECP=180°-∠DCF，
∴∠DOP=∠ECP，
又∠P为公共角，
∴△DOP∽△ECP，
∴PO：PC=PD：PE，
∴PC•PD=PO•PE，
又PC•PD=PB•PA，
∴PB•PA=PO•PE．
点评：此题考查了割线与圆的关系，弧、弦、圆周角圆心角的关系等知识，找出相似三角形是解题的关键步骤．
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