Question

【题目】如图，是的外接圆，，延长到点，使得，连接交于点，过点做的平行线交于点．

（1）求证：；

（2）求证：为的切线；

（3）若，，求弦的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（2）AC=．

【解析】

（1）由等腰三角形的性质可得∠DBC=∠BDC，根据圆周角定理可得∠DBC=∠CAE，即可证明∠BDC=∠CAE，进而可证明AE=DE；

（2）如图，连接OE，根据圆周角定理及三角形外角性质可得∠ACB=2∠EAC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠EAC，进而可证明点E为的中点，根据垂径定理推论可得OE⊥BC，根据EF//BC可得OE⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线；

（3）由∠ABE=∠DAB，∠BAE=∠BDA可证明，根据相似三角形的性质可求出BD的长，进而可求出DE的长，由（1）可得AE=DE，根据相似三角形的性质即可求出AD的长，根据AB=BC=CD，利用线段的和差关系即可求出AC的长．

（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）如图，连接，

∵∠DBC=∠BDC，

∴∠ACB=2∠DBC，

∵∠DBC=∠EAC，

∴∠ACB=2∠EAC，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB，

∴∠BAC=2∠EAC，

∴∠EAC=∠EAB，

∴点为的中点，

∴，

∵，

∴，

∴为圆的切线．

（3）在和中，，

∴，

∴，

∴，

∵AB=5，BE=3，

∴

∴，

由（1）得，

∵，

∴，

∵，

∴．