Question

在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图①、②所示．
问PD与PE有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图①、②不同的情形吗？若存在，请在图③中画出，并选择图②或图③为例加以证明，若不存在请选择图②加以证明．

Answer 1

分析：根据图形判断出四边形CEPD是正方形，再根据正方形的四条边都相等解答；
根据点D、E的位置判断出还有不同的情形，然后过点P作PM⊥AC于M，作PN⊥BC于N，根据点P是AB的中点判断出四边形MCNP是正方形，根据正方形的性质可得PM=PN，∠MPN=90°，再根据同角的余角相等求出∠DPM=∠EPN，然后利用“角边角”证明△PDM和△PEN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：解：PD=PE．
还有不同的情形如图③；
过点P作PM⊥AC于M，作PN⊥BC于N，
∵点P是AB的中点，AC=BC，∠C=90°，
∴四边形MCNP是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠DPM+∠MPE=∠DPE=90°，
∠EPN+∠MPE=∠MPN=90°，
∴∠DPM=∠EPN，
在△PDM和△PEN中，

∠DPM=∠EPN PM=PN ∠PMD=∠PNE=90°

，
∴△PDM≌△PEN（ASA），
∴PD=PE．

点评：考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．