Question

已知反比例函数y₁=（x＞0）的图象经过点A（2，4）．
（1）求k的值，并在平面直角坐标系中画出y₁=（x＞0）的图象；
（2）方程x²+bx-k=0的根可看做y₁=的图象与y₂=x+b的图象交点的横坐标．
依此方法，若方程x²+bx-k=0的一个实根为m，且满足2＜m＜3，则b的取值范围为______；
（3）方程x³-x-1=0的实数根x₀所在的范围是n＜x₀＜n+1，根据以上经验，可求出正整数n的值为______．

Answer 1

解：（1）将点A（2，4）代入反比例函数y₁=得，
k=2×4=8，
函数解析式为：y₁=；
列表得：

x	…	1	2	4	…
y	…	8	4	2	…

如图；

（2）∵方程x²+bx-k=0的根可看做y₁=的图象与y₂=x+b的图象交点的横坐标，且方程x²+bx-k=0的一个实根为m，满足2＜m＜3，
∴当x=2时，y₁==4，当x=3时，y₁=，
∴y₁=的图象与y₂=x+b的图象一个交点在点（2，4）与（3，）之间，
∵当x=2，y=4时，2+b=4，
解得：b=2，
当x=3，y=时，3+b=，
解得：b=-，
∴b的取值范围为：-＜b＜2；

（3）∵方程x³-x-1=0，
∴x²-1=，
∴它的根可视为y=x²-1和y=的交点的横坐标，
当x=1时，x²-1=0，=1，交点在x=1的右边，
当x=2时，x²-1=3，=，交点在x=2的左边，
又∵交点在第一象限．
∴1＜x₀＜2，
∵实数根x₀所在的范围是n＜x₀＜n+1，
∴n=1．
故答案为：（2）-＜b＜2，（3）1．
分析：（1）将点A（2，4）代入反比例函数解析式，即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式．
（2）由方程x²+bx-k=0的一个实根为m，且满足2＜m＜3，易求得y₁=的图象与y₂=x+b的图象一个交点在点（2，4）与（3，）之间，将其代入y₂=x+b，即可求得b的取值范围；
（3）由方程x³-x-1=0，可得x²-1=，则可得它的根可视为y=x²-1和y=的交点的横坐标，继而求得实数根x₀所在的范围是1＜x₀＜2，则可求得答案．
点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式以及函数与方程的关系等知识．此题难度较大，注意掌握方程思想、函数思想与数形结合思想的应用．