在△ABC中.∠A=90°.AB=4.AC=3.M是AB上的动点.过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O.并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x． (1)用含x的代数式表示△MNP的面积S, (2)当x为何值时.⊙O与直线BC相切? (3)在动点M的运动过程中.记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y.试求y关于x的函数表达式.并求x为何值时.y的值最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN。令AM=x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

解：（1）∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴AN=x， ∴（0<x<4）。
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO、OD，则AO=OD=MN，在Rt△ABC中，，由（1）知△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴， ∴，过M点作MQ⊥BC 于Q，则，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴△BMQ∽△BCA， ∴， ∴，， ∴x=， ∴当x=时，⊙O与直线BC相切。
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP，则O点为AP的中点， ∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC， ∴△AMO∽△ABP， ∴，AM=MB=2，故以下分两种情况讨论： ①当0＜x≤2时，； ∴当x=2时，； ②当2＜x＜4时，如图4，设PM，PN分别交BC于E，F， ∵四边形AMPN是矩形， ∴PN∥AM，PN=AM=x，又∵MN∥BC， ∴四边形MBFN是平行四边形， ∴FN=BM=4-x， ∴PF=x-（4-x）=2x-4，又△PEF∽△ACB， ∴， ∴，，当2＜x＜4时，， ∴当时，满足2＜x＜4，，综上所述，当时，y值最大，最大值是2。