Question

【题目】如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度（）．

（1）如图②，当时，连接、．求证：；

（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）的大小不发生变化，（3）

【解析】

(1）如图①利用三角形的中位线定理，推出，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．

（2）利用相似三角形的性质证明即可．

（3）点的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．

（

（1）如图②中，

由图①，∵点为边中点，点为边中点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

（2）的大小不发生变化，.

理由：如图③中，设交于点．

∵，

∴，

∵，，，

∴.

（3）如图③﹣1中．设的中点为，连接，以为边向右作等边，连接，．

以为圆心，为半径作，

∵，，

∴，

∴点在上运动，

以为圆心，为半径作，当直线与相切时，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴的长，

观察图象可知，点的运动路程是的长的两倍.