Question

△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=______．
（2）若∠A=76°，则∠BOC=______．
（3）若∠BOC=120°，则∠A=______．
（4）你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗？

Answer 1

解：（1）∵CO、BO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OCB=∠ACB=25°，∠OBC=∠ABC=20°．
∴∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-（20°+25°）=135°；

（2）∵CO、BO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OCB=∠ACB，∠OBC=∠ABC．
∴∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-（∠ACB+∠ABC），
又∵∠ACB+∠ABC=180°-∠A=104°．
∴∠BOC=180°-×104°=128°；

（3）∵∠BOC=120°，
∴∠OCB+∠OBC=60°，
∵∠OCB=∠ACB，∠OBC=∠ABC．
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC）=120°；
∴∠A=60°；

（4）∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-（∠ACB+∠ABC）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．
分析：（1）首先根据角平分线的定义，即可求得：∠OCB=∠ACB=25°，∠OBC=∠ABC=20°，然后利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得：∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-（∠ACB+∠ABC），据此即可求解；
（3）根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC），据此即可求解；
（4）根据三角形的内角和定理可以得到：∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-（∠ACB+∠ABC）=180°-（180°-∠A）．
点评：本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定理正确理解：∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC）是关键．