Question

【题目】已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），点C的坐标为　 　．

（2）如图2，若OA平分∠BAC，BC与x轴交于点E，若点C纵坐标为m，求AE的长．

（3）如图3，在（2）的条件下，点F在射线DM上，且∠ABF＝∠ADF，AH⊥BF于点H，试探究BF、HFDF的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4）；（2）2m；（3）BF＝2FH+DF，理由见解析

【解析】

（1）作CH⊥y轴于H，如图1，易得OA＝3，OB＝1根据等腰直角三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，则可根据“AAS”证明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；

（2）如图2，过点C作CF⊥AO，交AB的延长线于H，由“ASA”可证△AFC≌△AFH，可得CF＝FH＝m，由“AAS”可证△ABE≌△CBH，可得AE＝CH＝2m；

（3）如图3，过点A作AN⊥DF于点N，由“AAS”可证△ABH≌△ADN，可得AN＝AH，BH＝DN，由“HL”可证Rt△ANF≌Rt△AHF，可得NF＝FH，即可得结论．

解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，

∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），

∴OA＝3，OB＝1，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠CBH＝90°，

∵∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠CBH＝∠BAO，

在△ABO和△BCH中

，

∴△ABO≌△BCH（AAS），

∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，

∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，

∴C（﹣1，4），

故答案为：（﹣1，4）；

（2）如图2，过点C作CF⊥AO，交AB的延长线于H，

∴∠CBH＝90°，

∵CF⊥AO，

∴∠BCH+∠H＝90°，

而∠HAF+∠H＝90°，

∴∠BCH＝∠HAF，且∠ABC＝∠CBH＝90°，AB＝CB，

∴△ABE≌△CBH（AAS），

∴AE＝CH，

∵AO平分∠BAC，

∴∠CAF＝∠HAF，且AF＝AF，∠AFH＝∠AFC，

∴△AFC≌△AFH（ASA）

∴CF＝FH＝m，

∴AE＝CH＝2m；

（3）BF＝2FH+DF，

理由如下：如图3，过点A作AN⊥DF于点N，

∵∠CAE＝∠BAE，∠AOB＝∠AOD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AD＝AB，且∠ADF＝∠ABF，∠AHB＝∠AND＝90°，

∴△ABH≌△ADN（AAS）

∴AN＝AH，BH＝DN，

∵在Rt△ANF和Rt△AHF中，AN＝AH，AF＝AF，

∴Rt△ANF≌Rt△AHF（HL）

∴NF＝FH，

∵BF＝BH+FH＝DN+FH

∴BF＝DF+NF+FH＝2FH+DF．