Question

已知⊙O的半径为5，由直径AB的端点B作⊙O的切线，从圆周上一点P引该切线的垂线PM，M为垂足，连接PA，设PA=x，则AP+2PM的函数表达式为________，此函数的最大值是________，最小值是________．

Answer 1

AP+2PM=x+=-+20，（0＜x＜10）        不存在
分析：先连接BP，AB是直径，BP⊥BM，所以有，∠BMP=∠APB=90°，又∠PBM=∠BAP，那么有△PMB∽△PAB，
于是PM：PB=PB：AB，可求PM==，从而有AP+2PM=x+=-x²+x+20（0＜x＜10），再根据二次函数的性质，可求函数的最大值．
解答：解：如图所示，连接PB，
∵∠PBM=∠BAP，∠BMP=∠APB=90°，
∴△PMB∽△PAB，
∴PM：PB=PB：AB，
∴PM==，
∴AP+2PM=x+=-x²+x+20（0＜x＜10），
∵a=-＜0，
∴AP+2PM有最大值，没有最小值，
∴y_最大值==．
故答案为：AP+2PM=x+=-x²+x+20（0＜x＜10），，不存在．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、圆中直径所对的圆周角等于90°、求二次函数的最大值、弦切角定理．