Question

已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点P，且BD=CE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若连接AP并延长，请问AP与BC有什么样的关系？并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）直接证明△DBC≌△ECB即可证得结论；
（2）先证明AB=AC，BP=CP，根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上可得AF垂直平分BC．

解答：（1）证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
在Rt△DBC和Rt△ECB中，

BD=CE BC=BC

，
∴Rt△DBC≌Rt△ECB（HL），
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC；

（2）AP垂直平分BC．
证明：如图，连接AP并延长与BC交于点F，
∵△BCD≌△CBE，
∴∠CBD=∠BCE，∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC，BP=CP，
∴AP垂直平分BC（到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上）．

点评：本题考查了全等三角形的判定，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．