题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO=8．求AD+BC的值．
分析：设EF=x，BF=y，OE=8-x，OF=8-y，在Rt△OEF中，利用勾股定理得到16x=16y-y2，由AD∥EF∥BC，得到△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，则
=
，
=
，即
=
①，
=
②，然后用①+②，化简即可得到AD+BC．
| EF |
| AD |
| BF |
| BA |
| EF |
| BC |
| AF |
| AB |
| AD |
| x |
| 16 |
| y |
| BC |
| x |
| 16 |
| 16-y |
解答：解：设EF=x，BF=y，
∵FE+EO=8，
∴OE=8-x，
而AB=16，O为边AB的中点，
∴OF=8-y，
∵EF⊥AB，
∴∠OFE=90°，
∴OE2=OF2+EF2，即（8-x）2=（8-y）2+x2，
∴16x=16y-y2，
又∵∠ABC=∠BAD=90°，即AD∥EF∥BC，
∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，
∴
=
，
=
∴
=
①，
=
②，
①+②得，
=16•
，
∴AD+BC=16x•
=16．
∵FE+EO=8，
∴OE=8-x，
而AB=16，O为边AB的中点，
∴OF=8-y，
∵EF⊥AB，
∴∠OFE=90°，
∴OE2=OF2+EF2，即（8-x）2=（8-y）2+x2，
∴16x=16y-y2，
又∵∠ABC=∠BAD=90°，即AD∥EF∥BC，
∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，
∴
| EF |
| AD |
| BF |
| BA |
| EF |
| BC |
| AF |
| AB |
∴
| AD |
| x |
| 16 |
| y |
| BC |
| x |
| 16 |
| 16-y |
①+②得，
| AD+BC |
| x |
| 16 |
| y(16-y) |
∴AD+BC=16x•
| 16 |
| 16y-y2 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质；也考查了勾股定理和代数式的变形．
练习册系列答案
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