Question

   如图，以矩形OCPD的顶点O为原点,它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系. 以点P为圆心, PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点, 若抛物线y=ax²+bx+4经过A, B, C三点, 且AB=6.

⑴求⊙P的半径R的长；

⑵求该抛物线的解析式并直接写出该抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标；

⑶若以AB为直径的圆与直线AC的交点为F, 求AF的长. （习题改编）

Answer 1

解：（1）连接AP

∵四边形ODPC为矩形

∴PD⊥AB

∴AD=BD=1/2AB=1/2×6=3 …………………………1分　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

又∵抛物线y=ax²+bx+4经过A, B, C三点

∴C（0，4）　 　…………………………1分

即OC=4

∴PD=OC=4　　　　　

∴有勾股定理得AP=5 …………………………1分

∴⊙P的半径R的长为5

（2）∵OD=CP=AP=5

∴A(2,0)　　 B(8,0)

求得函数解析式为 y=1/4(x-2)(x-8) …………………………2分

抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标为（10，4）…………………………1分

（3）连接BF

∵AB为⊙D的直径

∴∠AFB=90⁰=∠COA

又∵∠CAO=∠BAF

∴△AOC∽△AFB　

∴

∵AO=2　 AC= AB=6　 　　　

∴

∴AF=