Question

如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系. 以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，若抛物线y=ax²+bx+4经过A， B， C三点， 且AB=6.

（1）求⊙P的半径R的长；
（2）求该抛物线的解析式并直接写出该抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标；
（3）若以AB为直径的圆与直线AC的交点为F，求AF的长.

Answer 1

（1）连结AP.
∵抛物线解析式为y=ax²+bx+4
∴C点的坐标为（0，4），即OC=4
∵四边形OCPD是矩形，∴PD=OC=2，PD⊥AB
∵AB=6，∴AD=3
∵PA²=PD²+AD²，∴R²=4²+3²
∴R=5；
（2）∵OD=PC=5，AD=3，AB=6 ∴OA=2，OB=8 
       即A点的坐标为（2，0）B点的坐标为（8，0）
      代入抛物线y=ax²+bx+4，可求得
       E点坐标为（10，4）；
（3）∵以AB为直径的圆与直线AC的交点为F ∴∠BEA=90° 
        ∵∠CAO=∠BAE，∠AOC=∠AEB ∴△AOC∽△AEB
        ∴    ∵OA=2，，AB=6 
       ∴AF=