Question

已知：如图，AE²=AD•AB，且∠ABE=∠ACB．
试说明：（1）△ADE∽△AEB；
（2）DE∥BC；
（3）△BCE∽△EBD．

Answer 1

证明：（1）∵AE²=AD•AB，
∴AD：AE=AE：AB，
∵∠A是公共角，
∴△ADE∽△AEB；

（2）∵△ADE∽△AEB，
∴∠AED=∠ABE，
∵∠ABE=∠ACB，
∴∠AEB=∠ACB，
∴DE∥BC；

（3）∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵∠ABE=∠ACB，
∴△BCE∽△EBD．
分析：（1）由AE²=AD•AB，∠A是公共角，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，即可证得△ADE∽△AEB；
（2）由相似三角形的对应角相等，即可得∠AED=∠ABE，又由∠ABE=∠ACB，可得∠AED=∠ACB，即可得DE∥BC；
（3）由平行线，可得∠DEB=∠EBC，继而可得△BCE∽△EBD．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．