Question

已知：如图，四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，
求证：AD=CD．

Answer 1

分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．

解答：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE，                       
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBD中，

BA=BE ∠ABD=∠EBD BD=BD

，
∴△ABD≌△EBD  （SAS），
∴AD=ED，∠A=∠BED，
∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，
∴∠C=∠CED，
∴CD=ED，
∴AD=CD．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD防盗一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．