题目内容

如图，抛物线 $数学公式$ 的顶点为D，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且OB=2OC=3．
（1）求a，b的值；
（2）将45°角的顶点P在线段OB上滑动（不与点B重合），该角的一边过点D，另一边与BD交于点Q，设P（x，0），y₂= $数学公式$ DQ，试求出y₂关于x的函数关系式；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=m+ $数学公式$ 分别与抛物线y₁交于点E，G，与y₂的函数图象交于点F，H．问点E、F、H、G围成四边形的面积能否为 $数学公式$ ？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

解：（1）∵OB=2，OC= $\text{[math]}$ ，
∴拋物线y₁=ax²-2ax+b经过B（3，0），C（0， $\text{[math]}$ ）两点，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴拋物线的解析式为y₁=- $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ ．

（2）作DN⊥AB，垂足为N．（如下图1）
由y₁=- $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ 易得D（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，DN=BN=2，DB=2 $\text{[math]}$ ，
∠DBN=45°．根据勾股定理有BD ²-BN ²=PD ²-PN ²．
∴（2 $\text{[math]}$ ）²-2²=PD²-（1-x）²①
又∵∠DPQ=45°=∠DBP，
∴△PQD∽△BPD
∴PD²=DQ×DB= $\text{[math]}$ y₂×2 $\text{[math]}$ ②．
由①②得y₂= $\text{[math]}$ x²-x+ $\text{[math]}$ ．
∵0≤x＜3，
∴y₂与x的函数关系式为y₂= $\text{[math]}$ x²-x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x-1）²+2（0≤x＜3）．
（自变量取值范围没写，不扣分）

（3）假设E、F、H、G围成四边形的面积能为 $\text{[math]}$ （如图2）
∵点E、G是抛物线y₁=- $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x-1）²+2（分别与直线x=m，x=m+ $\text{[math]}$ 的交点
∴点E、G坐标为 E（m，- $\text{[math]}$ （m-1）²+2），G（m+ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ （m-1）²+2）．
同理，点F、H坐标为F（m， $\text{[math]}$ （m-1）²+2），H（m+ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ （m- $\text{[math]}$ ）²+2）．
∴EF=- $\text{[math]}$ （m-1）²+2-[- $\text{[math]}$ （m-1）²+2]=（m-1）²
GH= $\text{[math]}$ （m- $\text{[math]}$ ）²+2-[- $\text{[math]}$ （m- $\text{[math]}$ ）²+2]=（m- $\text{[math]}$ ）²．
∵四边形EFHG是平行四边形或梯形，
∴S= $\text{[math]}$ [（m-1）²+（m- $\text{[math]}$ ）²]× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
化简得16m²-24m+5=0
解得，m= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （都在0≤x≤3内）
所以，当，m= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，E、F、H、G围成四边形的面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知，OB=2，OC=3可得，拋物线y₁=ax²-2ax+b经过B（3，0），C（0， $\text{[math]}$ ）两点，利用待定系数法求得二次函数解析式中的未知数的值即可确定其解析式；
（2）作DN⊥AB，垂足为N．首先根据抛物线的解析式求得D、N、A、B的坐标然后转化为线段的长利用勾股定理得到有关x的关系式即可确定y₂的解析式；
（3）假设E、F、H、G围成四边形的面积能为 $\text{[math]}$ ，从假设出发求得m的值就说明存在，否则就不存在．
点评：本题考查了二次函数的应用，此类题目往往是中考题的压轴题，特别是存在型问题更是最近几年中考题的一个热点问题．