题目内容

如图1，已知双曲线 $数学公式$ 与直线y= $数学公式$ 交于A，B两点，点A在第一象限，点A的横坐标为4．

（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）如图2，过原点的另一条直线交双曲线于P、Q两点，若由点A、B、P、Q为顶点的四边形面积为24，求点P的坐标．

解：（1）将x=4代入y= $\text{[math]}$ x=2，即A（4，2），
将A（4，2）代入反比例解析式得：y=8，
则反比例解析式为y= $\text{[math]}$ ；

（2）过C作CD⊥x轴，作AE⊥x轴，
将y=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），
∴OD=1，CD=8，
∵A（4，2），∴OE=4，AE=2，
∵S_△AOC=S_△COD+S_梯形AEDC-S_△AOE= $\text{[math]}$ ×1×8+ $\text{[math]}$ ×（2+8）×3- $\text{[math]}$ ×4×2=15；

（3）设P（x， $\text{[math]}$ ），即OM=x，PM= $\text{[math]}$ ，
若P在A的左侧，如图所示，作PM⊥x轴，AN⊥x轴，
∵由点A、B、P、Q为顶点的四边形面积为24，OP=OQ，OA=OB，即四边形APBQ为平行四边形，
∴S_△AOP=S_△POM+S_梯形ANMP-S_△AON= $\text{[math]}$ ×24=6，即 $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×（4-x）×（2+ $\text{[math]}$ ）-4=6，
解得：x=2，即P（2，4）；
若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P（-2，-4）；
若P在A的右侧，同理可得4+ $\text{[math]}$ ×（x-4）×（2+ $\text{[math]}$ ）-4=6，
解得：x=8，此时P坐标为（8，1）；
若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P坐标为（-8，-1），
综上，P坐标为（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．
分析：（1）将x=4代入一次函数解析式求出y的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将C纵坐标代入反比例解析式求出横坐标，确定出C坐标，即CD与OD的长，三角形AAOC面积=三角形COD面积+梯形AEDC面积-三角形AOE面积，求出即可；
（3）设P（x， $\text{[math]}$ ），即OM=x，PM= $\text{[math]}$ ，分四种情况考虑：若P在A的左侧，如图所示，作PM⊥x轴，AN⊥x轴，由四边形APBQ面积为24，且为平行四边形，得到三角形AOP面积为6，根据三角形POM面积+梯形ANMP面积-三角形AON面积，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出此时P的坐标；若交点P在第三象限，Q在第一象限，利用对称性求出P坐标即可；若P在A的右侧，同理可得P的坐标；若交点P在第三象限，Q在第一象限，利用对称性求出P的坐标．
点评：此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，三角形、梯形的面积，以及待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．