题目内容

（2013•南通二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ∽△ABC，求t的值；
（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；
②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）求出AC，根据△APQ∽△ABC得出方程，求出方程的解即可；
（2）①根据线段垂直平分线得出AP=AQ，得出3-t=t，求出t=1.5，延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，根据△AQO∽△ABC，求出AO=
5
2
，QO=2，根据△APE∽△OPQ即可求出答案；②（i）当点Q从B向A运动时，直线l过B点，BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，∠PBC=∠PCB，得出CP=AP=
1
2
AC，代入求出即可；（ii）当点Q从A向B运动时，直线l过B点，过P作PG⊥BC于G，根据△PGC∽△ABC求出PG=
3
5
（5-t），CG=
4
5
（5-t），由勾股定理得出方程（6-t）2=（
4
5
t）2+[
3
5
（5-t）]2，求出方程的解即可．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
∵△APQ∽△ABC，
∴
AP
AB
=
AQ
AC
，
∴
t
3
=
3-t
5
，
t=
9
8
；

（2）①∵QP的垂直平分线过A，
∴AP=AQ，
∴3-t=t，
t=1.5，
∴AP=AQ=1.5，
延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，
则QO∥BC，
∴△AQO∽△ABC，
∴
AO
AC
=
AQ
AB
=
QO
BC
，
∴AO=
AQ
AB
•AC=
5
2
，QO=
AQ
AB
•BC=2，
∴PO=AO-AP=1，
∵QO∥AD，
∴△APE∽△OPQ，
∴
AE
OQ
=
AP
OP
，
∴AE=
AP
OP
•OQ=3．

②解：存在t的值，使得直线l经过点B，
理由是：（i）如图2，
当点Q从B向A运动时，直线l过B点，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t，
∴CP=AP=
1
2
AC=
1
2
×5=2.5，
即t=2.5；
（ii）如图3，
当点Q从A向B运动时，直线l过B点，
BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
过P作PG⊥BC于G，
则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴
PC
AC
=
PG
AB
=
GC
BC
，
∴PG=
PC
AC
•AB=
3
5
（5-t），CG=
PC
AC
•BC=
4
5
（5-t），
由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，
∴（6-t）2=（
4
5
t）2+[
3
5
（5-t）]2，
t=
45
14
，
存在t的值，使得直线l经过点B，t的值是2.5或
45
14
．
点评：本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
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