题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D为BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE，且AE＝DE．
（1）求证：∠AEC＝∠C；
（2）若AE＝8.5，AD＝8，求△ABE的周长．
【答案】（1）见解析；（2）△ABE的周长为32.
【解析】
（1）根据△ABD是直角三角形,利用斜边中线等于斜边一半得到AE＝
BD，进而得到AE=BE,再用外角的性质得到∠AEC =2∠B,等量代换即可解题,
（2）利用勾股定理求出AB的长,即可解题.
（1）∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形，
又∵点E是BD的中点，
∴AE＝BD，
又∵BE＝BD，
∴AE=BE，∴∠B=∠BAE，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，
又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C；
（2）在Rt△ABD中，AD＝8，BD＝2AE＝2×8.5＝17，
∴AB＝
＝15，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝15+8.5+8.5＝32
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