Question

P为半径为R的⊙O内一点，Q为射线OP上一点，如果满足OP•OQ=R²，则称P、Q两点为⊙O互为反演点．已知：E、B两点及A、F两点分别为⊙O的互为反演点．
（1）求证：△OEF∽△OAB；
（2）△OAB中，∠O、∠A、∠B所对的边分别为c、a、b关于x的方程（a-b）x²-2cx+a+b=0有两个相等的实数根，延长FE与⊙O相交于D点，求证：BD是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出OE•OB=OA•OF，再利用相似三角形的判定，即可得出△OEF∽△OAB；
（2）利用△=（-2c）²-4（a-b）（a+b）=0，得出∠A的度数，再利用OE•OB=R²，得出△ODE∽△OBD，从而得出证明方法．

解答：解：（1）∵E、B两点及A、F两点分别为⊙O的互为反演点，
∴OE•OB=OA•OF，
∴

OE

OA

=

OF

OB

，
∵∠EOF=∠AOB，
∴△OEF∽△OAB；

（2）连接OD，
∵关于x的方程（a-b）x²-2cx+a+b=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2c）²-4（a-b）（a+b）=0，
即c²+b²=a²，
∴∠A=90°，
∵△OEF∽△OAB，
∴∠A=∠OEF=90°，
∵OE•OB=R²，
∴

R

EO

=

BO

R

，
∵∠DOE=∠BOD，
∴△ODE∽△OBD，
∴∠ODB=∠OED=90°，
∴BD是⊙O的切线．

点评：此题主要考查了根的判别式以及相似三角形的判定与性质、切线的判定等知识，根据已知得出OE•OB=R²从而得出相似三角形是解决问题的关键．